完全非线性偏微分方程是偏微分方程中非线性程度最高、也是难度最大的类型，吸引了包括S.T. Yau、C. Villan、A. Figalli、A.V. Pogorelov、L. Caffarelli、N.S. Trudinger、X.J. Wang、K.S. Chou等众多著名数学家的关注和研究。在这一领域的若干前沿课题中，伯恩施坦（Bernstein）问题最引人注目。大体来说，伯恩施坦问题研究方程在全空间的整解（entire solution）是否只能由典范的少数特解给出。对于经典Mong-Ampere方程的伯恩施坦定理，Jorgens于1954年给出了维数n=2时的证明、Calabi在1958年给出了n=3,4,5的证明。对于所有维数的完整伯恩施坦定理被Pogorelov与1972给出了完整证明。之后，大家的目光移向了更一般的k-Hessian方程和Hessian quotient方程。2013年，Bao-Cheng-Guan-Ji发表在Amercian J. Math.的文章给出了伯恩施坦定理成立的两个逐点二次增长充分条件。关于问题的其他逐点二次增长条件还可见于Cheng-Yau[Comm. Pure Appl. Math.,1986]、Yuan[Invent. Math., 2002]、Li-Ren-Wang[J. Funct. Anal., 2016]、Cheng-Xiang[J. Differential Equations,2019]等文献中。数学系教师杜式忠去除已知文献中的各种逐点充分条件，证明了两类Hessian方程伯恩施坦定理成立的三种完全不同、且更容易验证的充分必要条件，包括反向等周不等式、体积平均增长条件、Lp积分增长条件。这一工作为最终解决Hessian方程的伯恩施坦问题提供了完全不同的新方法，获得了国家自然科学基金面上项目和广东省自然科学基金面上项目的资助。文章发表在美国数学会的Transactions of AMS第375期，论文链接：https://doi.org/10.1090/tran/8686。

流体力学方程解的存在性与光滑性是当今数学的核心问题，其中Navier-Stokes方程解的存在性与光滑性是千禧年问题之一。数学系陈森明博士和合作者一起在二流体模型解的存在性与光滑性取得重要进展，证明了粘性依赖两种密度的情形下整体经典解的存在唯一性。这为该方向的研究提供了新的方法和思路，具有重要的理论价值。该项工作得到了汕头大学科研启动基金和国家自然科学青年基金的资助，论文《The global classical solution to a 1D two-fluid model with density-dependent viscosity and vacuum》于2022年发表在Science China Mathematics第65期。（论文链接：https://doi.org/10.1007/s11425-021-1906-2）