走向现代数学学术报告 - 郑晓鹏博士（No. 649）

题目：多元多项式矩阵的分解与等价

报告人：郑晓鹏 博士（中国科学院数学与系统科学研究院）

时间：2023年10月8日 14:30

地点：东海岸-E教218

摘要：多元多项式矩阵分解和等价性的研究在符号计算领域中是一个基础问题，也在多维系统和信号处理等工程领域中有广泛的应用。以Grobner基概念的提出和Serre猜想的解决为基础，多元多项式矩阵的研究取得了极大的进展。报告主要分为两个部分：多元多项式矩阵分解和多元多项式矩阵等价。

多元多项式矩阵分解是将一个多元多项式矩阵分解为两个满足特定条件的多元多项式矩阵的乘积。我们研究了非满秩多元多项式矩阵的分解问题，并将原有的满秩矩阵分解结果推广到了非满秩矩阵的情况，并提出了计算非满秩矩阵分解的算法。与已有算法相比，新算法的计算效率得到了极大的提升。

对于多项式矩阵分解，我们还研究了其唯一性问题，并给出了多项式矩阵存在唯一分解的充分必要条件。该结果可以用于判断多元多项式矩阵是否存在唯一的分解，并计算该分解。

报告的第二部分主要研究多元多项式矩阵的等价性问题。两个多项式矩阵等价指的是两个多元多项式可以通过初等行列变换相互转换，而多元多项式矩阵的等价性问题是判断一个多元多项式矩阵是否可以通过初等行列变换化为特殊形式的对角矩阵（该形式被称为Smith标准型）。 我们研究了两类多元多项式矩阵，并给出了其等价于Smith标准型的充分必要条件。基于该结果，我们可以判断一个多项式矩阵是否等价于其Smith标准型，并且当该矩阵等价于其Smith标准型时，我们还可以计算具体的转换矩阵。

以上成果分别发表于符号计算领域的顶级会议ISSAC，期刊《IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs》、期刊《Journal of Symbolic Computation》和期刊《Journal of System Science and Complexity》。

报告人简介：郑晓鹏。本科毕业于华南师范大学，专业为数学与应用数学（师范），本科期间获得校一等奖学金，全国数学建模竞赛国家一等奖，全国数学竞赛一等奖，并于2019年保送至中国科学院数学与系统科学研究院硕博连读，从师王定康研究员。主要研究领域是符号计算，又名计算机代数。具体研究方向是Grobner基算法与应用、多项式矩阵的分解与等价。